david foster wallace

todo y más

breve historia del infinito

prólogo

Desafortunadamente este es un prólogo que hay que leer —y en primer lugar—
para entender ciertas características estructurales del texto principal y algunas
partes que casi parecen un código.

De estas, la más frecuente es la abreviatura SEI en negrita.

Para su información, no se trata de un tic o un error tipográfico, sino que sustituye
la expresión «Si está interesado», que, de tanto usarla en los primeros borradores,
finalmente, por pura repetición, evolucionó de ser una frase normal, utilizada para
introducir algún párrafo, hasta convertirse en un signo abstracto extratextual —SEI—
que ahora sirve para clasificar ciertos fragmentos de texto de un modo particular.
De qué modo lo hace es algo que ahora quedará justificado y explicado.

Todo y más es una obra de divulgación científica.

Aborda un conjunto de logros matemáticos extremadamente abstractos y técnicos,
aunque enormemente profundos e interesantes, y también hermosos.

El objetivo es hablar de esos logros de tal manera que resulten atractivos y
comprensibles para lectores que no tengan preparación técnica de nivel profesional
ni sean expertos en la materia.

Hacer las matemáticas bonitas, o por lo menos conseguir que el lector entienda que
alguien pueda considerarlas así.

Todo esto, por supuesto, suena muy bien, pero hay una pega:

¿cómo de técnica puede llegar a ser la presentación sin que el lector se pierda o sin
enterrarle en un sinfín de pequeñas definiciones y aclaraciones aparte?

Además, si se asume —como parece plausible— que algunos lectores tienen mucha
más preparación técnica que otros, ¿qué tono debe tener la explicación para que sea
accesible al neófito sin ser aburrida o irritante para alguien que ha practicado muchas
matemáticas en el instituto?

A partir de este punto, SEI en negrita señala partes del material a las que se puede
echar un vistazo, leerlas por encima u omitirlas por completo si el lector lo desea.
Es decir, se pueden ignorar sin perderse nada importante. Probablemente, más
de la mitad de las notas son SEI, así como varios párrafos, e incluso un par de
subsecciones del texto principal.

Algunos de los fragmentos opcionales son divagaciones o efemérides históricas;[0.1]
algunos son definiciones o explicaciones en los que un lector ducho en matemáticas
no tendrá que perder el tiempo.

Pero la mayoría de los fragmentos SEI están pensados para lectores con gran preparación
técnica, o un interés poco usual en las verdaderas matemáticas, o una paciencia sobrenatural,
o las tres cosas; dichos fragmentos proporcionan una mirada más detallada a asuntos que
la explicación principal pasa por alto o deja de lado.

Hay otras abreviaturas en el libro. Algunas solo están para ahorrar espacio. Otras son
consecuencia de un peculiar problema de estilo que se da en la escritura técnica, que
consiste es que con frecuencia tenemos que utilizar las mismas palabras una y otra vez
de un modo que se hace terriblemente pesado —la cuestión es que algunas palabras
técnicas tienen significados muy específicos que ningún sinónimo puede captar—.

Así, especialmente en el caso de ciertos términos de alta tecnología, la abreviatura es
el único modo de conseguir un poco de variedad. En realidad, nada de esto es un problema.
Todas las abreviaturas del libro están contextualizadas de tal modo que debería quedar
totalmente claro qué significan. Sin embargo, por si hubiera errores del autor o confusiones
innecesarias, aquí presentamos una lista de las principales abreviaturas que puede consultar
en caso de necesidad:

A. C. P. = Axioma del conjunto potencia A. E. = Axioma de elección C1-1 = Correspondencia uno a uno «C y n. i.» = «Continuidad y números irracionales» de Dedekind CV = Círculo vicioso D. en D. = Demostración en diagonal D. Η. P. = Divina Hermandad de Pitágoras DNC = Dos nuevas ciencias de Galileo E. D. = Ecuación diferencial E. O. = Ecuación de onda G. E. = GLOSARIO DE EMERGENCIA H. C. = Hipótesis del continuo LTE = Ley del tercero excluido N. & L. = Newton y Leibniz P. A. I. = Principio de abstracción ilimitada P. A. L. = Principio de abstracción limitada P. C. = Producto cartesiano P. C. G. S. F. = Problema de convergencia general de las series de Fourier P. C. V. = Problema de la cuerda vibrante P. del I. = Paradojas del in nito de Bolzano P. I. = Principio de inducción P. Z. = Paradojas de Zenón RIV = Regresión in nita viciosa R. N. = Recta numérica R. R. = Recta real T. A. C. = Teoría axiomática de conjuntos TAC = Teoría analítica del calor de Fourier T. B. = Teorema del binomio Τ. Β. W. = Teorema de Bolzano-Weierstrass Τ. Ε C. = Teorema fundamental del cálculo Τ. I. C. = Teoría informal de conjuntos Τ. Ρ. = Teorema de Pitágoras T. U. = Teorema de unicidad Τ. V. Ε. = Teorema de los valores extremos de Weierstrass U. S. Μ. = Argumento Uno Sobre Muchos de Platón VNB = Sistema de axiomas para la teoría de conjuntos de Von Neumann y Bernays ZFS = Sistema de axiomas para la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem

1

§1a

Existe algo así como un historiador de las matemáticas.

Aquí está, a modo de apertura, una cita de tal historiador en la década de 1930:
Una conclusión parece ser ineludible: sin una teoría consistente del infinito matemático no hay
teoría de los irracionales. Sin una teoría de los irracionales no hay análisis matemático de
ninguna forma remotamente parecida a lo que tenemos ahora. Y finalmente, sin el análisis,
la mayor parte de las matemáticas —incluyendo la geometría y la mayor parte de las matemáticas
aplicadas— tal como existe actualmente, dejaría de existir.

Por lo tanto, la tarea más importante a la que tienen que hacer frente los matemáticos debería
ser la construcción de una teoría satisfactoria del infinito. Cantor lo intentó; con qué éxito es
algo que se verá después (Bell, págs. 521-522)

Los excitantes términos matemáticos no importan por ahora. El Cantor de la última línea es
el profesor Georg F. L. P. Cantor, nacido en 1845, naturalizado alemán, perteneciente a una
familia de comerciantes y reconocido padre de la teoría abstracta de conjuntos y de las
matemáticas transfinitas.

Algunos historiadores han debatido en un tira y afioja la cuestión de si era judío.
Cantor en latín significa «cantante».
Georg F. L. P. Cantor es el matemático más importante del siglo XIX y una figura de gran
complejidad y sufrimiento. Estuvo entrando y saliendo de hospitales mentales buena parte
de su madurez tardía y murió en un sanatorio en Halle[1.1] en 1918.

Curiosamente, Kurt Gödel, el matemático más importante del siglo XX, también murió
como resultado de una enfermedad mental.

Ludwig Boltzmann, el físico matemático más importante del siglo XIX, se suicidó. Y así
sucesivamente. Los historiadores y los estudiosos de la cultura pop tienden a dedicar
mucho tiempo a los problemas psiquiátricos de Cantor y a si estaban relacionados, y
de qué modo, con su trabajo sobre las matemáticas del ∞.

En el año 1900 se celebró en París el 2º Congreso Internacional de Matemáticos. El profesor
David Hilbert, por aquel entonces el matemático nº 1 del mundo, describió los números
transfinitos de Georg Cantor como «el mejor producto del genio matemático» y «una de
las más bellas realizaciones de la actividad humana en el dominio de lo puramente
inteligible» (Hilbert, «Über das Unendliche» [«Sobre el in nito»], pág. 197).

He aquí una cita de Gilbert K. Chesterton:

«Los poetas no enloquecen, pero los jugadores de ajedrez sí.
Los matemáticos se vuelven locos, y los cajeros, pero los artistas creativos no suelen hacerlo.
No estoy atacando la lógica: solo digo que este peligro yace en la lógica, no en la imaginación»
(Chesterton, citado por Barrow, pág. 171).

Y aquí está un fragmento del texto de la solapa de una reciente biografía divulgativa de Cantor:

«A finales del siglo XIX, un matemático extraordinario languidecía en un sanatorio […]
Cuanto más se acercaba a las respuestas que buscaba, más lejanas parecían. A la larga,
ello le condujo a la locura, igual que a otros matemáticos antes que a él» (Amir D. Aczel,
The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for In nity, Four Walls
Eight Windows, 2000).

Los casos de grandes matemáticos con enfermedades mentales tienen enorme resonancia
para los escritores y cineastas de la época pop. Esto tiene que ver principalmente con las ideas
preconcebidas y las sensibilidades de esos mismos escritores/cineastas, y a su vez dichas ideas
están en función de lo que se podría llamar el molde arquetípico particular de nuestra época.
No hace falta decir que dichos moldes cambian con el tiempo.

Hoy, el Matemático Mentalmente Enfermo parece ser de algún modo lo que el Caballero Errante,
el Santo Mortificado, el Artista Atormentado y el Científico Loco fueron en otras épocas: algo
así como nuestro Prometeo, el que va a lugares prohibidos y vuelve con regalos que todos p
odemos aprovechar pero cuyo precio solo paga él.

Esto es probablemente un poco exagerado, por lo menos en la mayoría de los casos.[1.2] Pero
Cantor encaja en el molde mejor que la mayoría. Y las razones para ello son mucho más
interesantes que cualesquiera fueran sus problemas y síntomas.[1.3]
Pero saber algo sobre los logros de Cantor no es lo mismo que valorarlos, lo cual constituye
nuestro objetivo e implica ver las matemáticas transfinitas como una especie de árbol, con sus
raíces en las paradojas de la Antigua Grecia acerca de la continuidad y la inconmensurabilidad, y
sus ramas enredadas en la crisis moderna sobre los fundamentos de las matemáticas:

Brouwer y Hilbert y Russell y Frege y Zermelo y Gödel y Cohen y sus colegas.

Los nombres ahora mismo son menos importantes que el árbol, siendo este una especie
de esquema general que conviene recordar.

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